从单体宇宙带到多元宇宙，这些都毫无意义，只有凌驾于一切之上的数学和哲学才是真理，没有任何意义的同时也是一个意义单体宇宙=一个无限的宇宙，多元宇宙就是无限个单体宇宙.........现在我们添加更多的量级CK序数：第一个不可计算序数是ω_1^ck，这是所有递归序数的集合，而ck是邱奇克林的缩写，而第二个不可计算序数为ω_2^ck，这是第一个不可计算序数ω_1^ck放入任何递归运算的集合总和，这里的运算可以有很多，如后继，加法，乘法，乘方，中函数，序数坍缩函数……，而我们还有第三个不可计算序数ω_3^ck，第西个不可计算序数ω_4^ck，第五个不可计算序数ω_5^ck.....以此类推，不可计算序数可以任意的多，不过任意ω_a^ck也都小于阿列夫一，而我们还有着对不可计算序数的拓展，也就是Фck，假如说有一个不可计算序数ω_1^ck，用Фck可以表示为Ф(1)^ck，ω_2^ck可以表示为Ф(2)^ck，ω_3^ck可以表示为Ф(3)^ck.....以此类推，运算规则都一样，而Ф(1)^ck、Ф(2)^ck、Ф(3)^ck.....用二元ck函数可以表示为Ф(0，1)^ck，Ф(0，2)^ck，Ф(0，3)^ck....以此类推将上方构成一个幕集......阿列夫0的总合阿列夫(ℵ)1＞阿列夫(ℵ)0，阿列夫1继续叠加，阿列夫2＞阿列夫1，同理一首循环.........阿列夫不动点，阿列夫阿列夫阿列夫不动点，阿列夫(阿列夫^阿列夫......)不动点不可达基数:不可达基数（Unreachable cardinal）是集合论中的一个概念，它指的是在基数层次中某些理论上存在的基数，但它们不能通过标准的构造方法从较小的基数得到。

更具体地说，如果存在一个基数α和一个极限序数β，使得对所有小于β的序数γ，基数( aleph_{gamma} )都不等于α，那么基数α被称为在序数β处不可达。

简单来说，一个不可达基数是第一个超过所有可由小于某个特定极限序数的序数所指示的ℵ数（即可以由自然数幂集操作生成的基数序列）的基数。

这意味着不可达基数不能是任何形式的可数基数的幂集操作的结果，也不是任何更小基数的并集所能达到的。

不可达基数的存在性依赖于选择公理或者更弱的形式，比如策梅洛集合论加上选择公理(ZFC)。

在ZFC公理体系中，不可达基数的存在是无法证明也无法否定的——它是一个一致性的假设，意味着假设其存在不会导致逻辑矛盾。

马洛基数:马赫罗基数与不可达基数联系最为密切的基数马洛基数(Mahlo cardinals)是与不可达基数联系最为密切的一类大基数。

若K是弱(或强)不可达基数，且小于K的所有正则基数的无界闭集是K的驻子集，则称K是弱(或强)马洛基数。

一般情况下马洛基数指强马洛基数。

早在1911年至1913年，马洛(Mahlo)就研究了现今称为弱马洛基数的一类基数ZFC系统定义为弱(或强)马洛基数的充分必要条件是: 小于的弱(或强)不可达基数的无界闭集是的驻子集。

弱(或强)马洛基数一定是弱(或强)不可达基数；但不可达基数不一定是马洛基数。

证明若是马洛基数，则必是第个不可达基数。

亦即，若设点是不可达基数类的排序函数，则马洛基数是函数的不动点 反之则不对，即若点 不一定是马洛基数.而且，满足点的最小基数一定不是马洛基数。

ZFC系统所以在ZFC系统中，要想通过集论运算从不可达基数构造出马洛基数，与从ZFC系统中己有的基数构造出不可达基数同样是不可能的。

伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

称X是伊卡洛斯集，当且仅当Vλ+2是X与Y的不交并，以至于任意y∈Y，j:(Vλ+1,X∪{y})→(Vλ+1,X∪{y})都可应用库能的证明。

所以j:(Vλ+1,X)→(Vλ+1,X)就是j:Vλ+2→Vλ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式。

令X⊂Vλ+1为Icarus那么 Y∈L(X,Vλ+1)∩Vλ+2使得ΘL(X,Vλ+1)＜ΘL(Y,Vλ+1) . 那么 L(Y,Vλ+1)♯存在以及 L(Y,Vλ+1)♯∈L(X,Vλ+1)莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x，a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.还有其他己知不一致的Reinhardt基数公式。

一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。

又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。

这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。

这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。

为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。

对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1)，m = ( elementary )伯克利基数Berkeley 基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：对于包含k和α＜k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。

这意味着我们有基本的j1，j2， j3...j1：(Vk，∈)→(VK，∈)，j2：(VK，∈，j1)→(Vk，∈，j1)，j3：(Vk，∈，j1，j2)→(VK，∈，j1，j2)等等。

这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无效。

因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。

宇宙V：公理：集合宇宙（V）的一个层次结构，这个结构是基于序数（ordinal number）来定义的。

这种表示方式称为 Von Neumann hierarchy。

在这个层次结构中，V_λ 表示一个特定的集合宇宙，它是根据序数 λ 来定义的。

当 λ = a+1 时，V_λ = P(V_a)，表示 V_λ 是 V_a 的幂集（power set）。

幂集包含一个集合的所有子集（包括空集和本身）。

当 λ 为极限序数时，V_λ = ∪_k＜λ V_k，表示 V_λ 是 V_k 的并集，这里 k 能够遍历所有序数。

并集（union）是将两个或多个集合的元素合并在一起组成的新集合。

V_0 = ∅，表示空集是第 0 个集合宇宙。

从第 1 个集合宇宙开始，我们逐层构建集合宇宙的层次结构。

第 1 个集合宇宙是空间的幂集 {∅}；第 2 个集合宇宙是第 1 个集合宇宙的幂集 {∅, {∅}}；第 3 个集合宇宙是第 2 个集合宇宙的幂集 {∅, {∅}, {∅, {∅}}}，以此类推。

在这个层次结构中，我们可以构建任意多个集合宇宙。

这个层次结构反映了几何宇宙是如何按照某种规律进行扩展的。

第0块是空集，第1块是空集的幂集{∅}，第2块是第1块的幂集{∅, {∅}}，……，一首做下去，当到了某个极限，再把之前切好的块在聚拢起来，之后又继续切。

数学表达：V₀=∅Vα+1=P(Vα)Vλ=∪k＜λVk，∪k Vk，k能够遍历所有序数其中，V表示宇宙V，₀表示初始状态，α表示任意序数，P表示幂集，∪表示并集，k表示序数。

这个公式描述了宇宙V从空间开始，通过不断添加新的元素，最终达到包含所有自然数的集合。

脱殊复宇宙：令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类：⒈M∈Vᴍ⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。

如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是一个脱殊复宇宙。

也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙（即宇宙V）。

(伍丁基数f:λ-→λ存在一个基数k＜)和{f()|β＜k}和基本嵌入j: V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点k和V_ j(f) (k)EM一个等 效的定义是这样的:λ是伍丁当且仅当入对所有来说都是非常难以接近的ASV_ _λ存在一个λ_ A＜这是＜X-A-strong的……)复宇宙Hamkins 在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性.其中最有代表性的是他对复宇宙（multiverse）3的描述.类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复宇宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙. Hamkins 强调:“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20,23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念.即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的.Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考虑到的一种情况：“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是无穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链.”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些首观.5.2.1 复宇宙公理及其一致性类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性， Hamkins 提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.定义 5.2.1 （复宇宙公理）假设 M 是一个由 ZFC 模型组成的飞空类.我们说 M 是一个复宇宙，但且仅当它满足：(1）可数化公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一个模型 N，使得 M 是 N 中的一个可数集合.(2)伪良基公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M中的一个模型 N，使得在 N 看来，结果 M 上的关系 ∈ω 是一个劣基的关系.3作者将 multiverse view 译作多宇宙观，这是与传统集合实在论，也即被多宇宙观称作唯一字宙观(universe view)相对的概念，而这里的复宇宙是指多宇宙观所理解的包含所有集合论宇宙的那个宇宙。

(3)可实现公理：对任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中参数可定义的类,并且 M 认为 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.(4)力迫扩张公理：对任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中参数可定义的偏序 (类)，那么存在一个 P上的 M 脱殊滤 G，使得力迫扩张 M[G]在 M 中.(5)嵌入回溯公理:对任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中参数可定义的类且 M1 认为 ji ：M1 → M2 是一个初等嵌入，那么存在 M 中的一个模型 M0，M0认为以同样方式4定义的 j0 ：M0 → M1 是一个初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).注 5.2.2 我们说,“集合论模型(M,∈M)5是 N 中的一个元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一个元素 α0， N 认为该元素是由 m0, E0 组成的有序队峙 E0 是 m0 上的一个二元关系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ⊆ m0×m0，而从外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的关系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}组成的结构(m1,B1)同构于集合论模型 M.复复宇宙：存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个渺小版本的复宇宙于是我们可以继续，得到复复复宇宙、复复复宇宙、复复复……复宇宙。

逻辑多元：V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号：a¯ 表示V的每一个集合aV¯ 表示宇宙全体集合容器V在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：∀b,b∈a,ψ(b¯)⊢∀x∈a¯,ψ(x)∀a,b∈V,ψ(a¯)⊢∀x∈V¯,ψ(x)作为宽度完成主义者，我们不能首接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。

然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。

考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a。

最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。

那么P在V的一个内模型中成立。

最终我们成功避免了首接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。

绝对无限:绝对无限(Absolute Infinite)是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。

康托尔把绝对无限等同于神。

他坚持绝对无限有各种数学性质，包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。

康托尔的观点引证康托尔所说:实际无限在三个上下文中出现: 首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“in Deo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在 神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的时候。

康托尔还在著名的 1899年7月28日给 Richard Dedekind 的信中提到了这个想法*:一个多重列(multiplicity)被称为良序的，如果它符合所有子列都有第一个元素的条件；我把这种多重列简称为序列。

现在我正视所有数的系统并把它指示为 Ω。

系统 Ω 依照量是“序列”而处于它的自然排序下。

现在让我们毗连 0 作为给这个序列的一个额外元素，如果我们设置这个 0 在第一个位置上则 Ω* 仍是序列 ... 通过它你可欣然的自我确信，出现在其中的所有的数都是所有它前面元素的序列的序数。

现在 Ω* (因此还有 Ω)不能是相容的多重列。

因为如果 Ω* 是相容的，则作为良序集合，数 Δ 将属于它，而它将大于系统 Ω 的所有的数；但是数 Δ 还属于系统 Ω，因为由所有的数组成。

所以 Δ 将大于 Δ，这是一个矛盾。

所以所有序数的系统 Ω 是不相容的，绝对无限多重叠。

关于绝对无限有两个有趣的性质（这使得它有宛如神的性质）：①反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。

即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。

假设Ω具有独特的性质ｐ，而其它无限集都不具有这个性质。

则我们可用性质ｐ对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。

因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。

所以假设不成立。

②不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。

即Ω是不能从下面达到的。

Ω逻辑是一种模型论逻辑，它满足自然数理论的一种逻辑。

它通过引入Ω-猜想，具有Ω-完备的力量，能够见证一切Ω-真命题是Ω-可证的。

Ω-逻辑用于谈论脱殊绝对性的无限逻辑，其语义域是整个脱殊复宇宙，语法域是通用波莱尔集。

这种逻辑的证明编码的基数可以是任意大的不可数基数。

如果Ω-猜想成立，Ω逻辑可以见证任意大的模型中包含的任意大基数，并将各种大基数公理以Wadge证明秩的深度分“强弱,重新衡量大基数的强度。

武丁在Ω-猜想的视角下重新定义了“大基数”，并定义了一种强逻辑，在所有检测模型里成立的命题就是强逻辑下有效的命题。

这种逻辑令T是语言 _set中的语句集，为语句，我们定义σ是T的Ω逻辑后承，符号表示为T⊨_Ωσ，如下：对任意完全布尔代数 , 任意序数α,如果Vαᴮ=T,则Vαᴮ⊨T.特别地，如果T是空集，则σ称是Ω有效的，记作⊨_Ωσ。

⊨_Ωσ这一概念的一个十分重要的性质是：假设存在武丁基数的一个真类，则关系⊨_Ω对任意脱殊扩张是绝对的，即对任意可数语句集T,任意语句σ,以及任意 : T⊨_Ωσ当且仅当Vᴮ⊨“T⊨_Ωσ”。

我们可以用以下概念重新描述脱殊绝对性：Ω完全的。

令T是理论而S推理过程与上面类似。

假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。

这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。

因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

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